11 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Математический портал Дифференциал функции Дифференциалы первого порядка

Математический портал Дифференциал функции Дифференциалы первого порядка

Рассмотрим эту идею разбиения приращения функции (Delta y) на две части на простом примере. Пусть задан квадрат со стороной ( = 1 ,text<м>,) (рисунок (1)). Его площадь, очевидно, равна [ = x_0^2 = 1 ,text<м>^2.] Если сторону квадрата увеличить на (Delta x = 1,text<см>,) то точное значение площади увеличенного квадрата будет составлять [S = = + Delta x> right)^2> = 1, <01^2>= 1,0201 ,text<м>^2,] т.е. приращение площади (Delta S) равно [ = 1,0201 — 1 = 0,0201,text<м>^2 > = <201,text<см>^2.> ] Представим теперь это приращение (Delta S) в таком виде: [require = + Delta x> right)^2> — x_0^2 > = + 2Delta x + right)^2> — cancel > = <2Delta x + right)^2> > = right) > = right).> ] Итак, приращение функции (Delta S) состоит из главной части (дифференциала функции), которая пропорциональна (Delta x) и равна [dy = ADelta x = 2Delta x = 2 cdot 1 cdot 0,01 = 0,02 ,text<м>^2 = 200,text<см>^2,] и члена более высокого порядка малости, в свою очередь, равного [omicronleft( right) = right)^2> = <0,01^2>= 0,0001,text<м>^2 = 1,text<см>^2.] В сумме оба этих члена составляют полное приращение площади квадрата, равное (200 + 1 = 201,text<см>^2.)

Заметим, что в данном примере коэффициент (A) равен значению производной функции (S) в точке (🙂 [A = 2.] Оказывается, что для любой дифференцируемой функции справедлива следующая теорема :

Коэффициент (A) главной части приращения функции в точке () равен значению производной (f’left( <> right)) в этой точке, т.е. приращение (Delta y) выражается формулой [ right) > = > right)Delta x + omicronleft( right).> ] Разделив обе части этого равенства на (Delta x ne 0,) имеем [ ><> = A + frac <right)>><> > = > right) + frac <right)>><>.> ] В пределе при (Delta x to 0) получаем значение производной в точке (🙂 [ > right) = limlimits_ frac<><> > = > right).> ] Здесь мы учли, что для малой величины (omicronleft( right)) более высокого порядка малости, чем (Delta x,) предел равен [limlimits_ frac <right)>><> = 0.] Если считать, что дифференциал независимой переменной (dx) равен ее приращению (Delta x:) [dx = Delta x,] то из соотношения [dy = ADelta x = y’dx] следует, что [y’ = frac<><>,] т.е. производную функции можно представить как отношение двух дифференциалов.

На рисунке (2) схематически показана разбивка приращения функции (Delta y) на главную часть (ADelta x) (дифференциал функции) и член высшего порядка малости (omicronleft( right)).

Касательная (MN), проведенная к кривой функции (y = fleft( x right)) в точке (M), как известно, имеет угол наклона (alpha), тангенс которого равен производной: [tan alpha = f’left( <> right).] При изменении аргумента на (Delta x) касательная получает приращение (ADelta x.) Это линейное приращение, образованное касательной, как раз и является дифференциалом функции. Остальная часть полного приращения (Delta y) (отрезок (N)) соответствует «нелинейной» добавке с более высоким порядком малости относительно (Delta x).

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

Дифференциал функции. Дифференциалы первого порядка.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Определение. Функция $y=f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x_0,$ если ее приращение $Delta y(x_0, Delta x)$ может быть представлено в виде $$Delta y(x_0, Delta x)=ADelta x+o(Delta x).$$

Главная линейная часть $ADelta x$ приращения $Delta y$ называется дифференциалом этой функции в точке $x_0,$ соответствующим приращению $Delta x,$ и обозначается символом $dy(x_0, Delta x).$

Для того, чтобы функция $y=f(x)$ была дифференцируема в точке $x_0,$ необходимо и достаточно, чтобы существовала производная $f'(x_0),$ при этом справедливо равенство $A=f'(x_0).$

Выражение для дифференциала имеет вид $$dy(x_0, dx)=f'(x_0)dx,$$ где $dx=Delta x.$

Свойства дифференциала:

1. $d(C)=0,$ где $C -$ постоянная;

2. $d(C_1u+C_2v)=C_1du+C_2dv;$

3. $d(uv)=udv+vdu;$

5. Пусть $z(x)=z(y(x)) -$ сложная функция, образованная компазицией функций $y=y(x)$ и $z=z(y).$ Тогда

$$dz(x, dx)=z'(y)dy(x, dx), $$ то ес т ь выражение для дифференциала сложной функции через дифференциал промежуточного аргумента имеет такую же форму, что и основное определение $dz(x, dx)=z'(x)dx.$ Это утверждение называется инвариантностью формы 1-го дифференциала.

Примеры.

Найти дифференциалы указанных функций при произвольных значениях аргумента $x$ и при произвольном его приращении $Delta x=dx:$

5.285. $xsqrt+a^2arcsinfrac-5.$

Решение.

Таким образом, $dy=2sqrtdx.$

Ответ: $dy=2sqrtdx.$

Решение.

Пусть $y(x)=sin x-xcos x+4.$

$y'(x)=(sin x-xcos x+4)’=cos x-x’cos x-x(cos x)’+4’=$ $=cos x-cos x+xsin x=xsin x.$

Таким образом, $dy=xsin xdx.$

Ответ: $dy=xsin xdx.$

Найти дифференциалы следующих неявно заданных функций $y=y(x):$

Читать еще:  Как сделать ножничный подъемник своими руками видео

5.290. $y^5+y-x^2=1.$

Решение.

Перепишем заданное равенство в виде тождества

и вычислим дифференциалы левой и правой части. Используя свойства дифференциала, находим:

Приравнивая полученные выражения, получаем $-2xdx+(5y^4+1)dy=0.$ Из этого уравнения выражаем $dy$ через $x, y$ и $dx:$

Ответ: $dy=frac<2x><5y^4+1>dx.$

Решение.

Перепишем заданное равенство в виде тождества

и вычислим дифференциалы левой и правой части. Используя свойства дифференциала, находим:

Приравнивая полученные выражения, получаем $e^ydy=dx+dy.$ Из этого уравнения выражаем $dy$ через $x, y$ и $dx:$

Ответ: $ dy=frac<1>dx$

5. 297. $cos (xy)=x.$

Решение.

Перепишем заданное равенство в виде тождества

и вычислим дифференциалы левой и правой части. Используя свойства дифференциала, находим:

$d(cos (xy))=-sin (xy)d(xy)=-sin (xy)(ydx+xdy)=-ysin (xy)dx-xsin (xy)dy;$

Приравнивая полученные выражения, получаем $-ysin (xy)dx-xsin (xy)dy=dx.$ Из этого уравнения выражаем $dy$ через $x, y$ и $dx:$

Домашнее задание.

Найти дифференциалы указанных функций при произвольных значениях аргумента $x$ и при произвольном его приращении $Delta x=dx:$

Найти дифференциалы следующих неявно заданных функций $y=y(x):$

5.296. $arctgfrac=lnsqrt.$

Математический портал Дифференциал функции Дифференциалы первого порядка

Рассмотрим эту идею разбиения приращения функции (Delta y) на две части на простом примере. Пусть задан квадрат со стороной ( = 1 ,text<м>,) (рисунок (1)). Его площадь, очевидно, равна [ = x_0^2 = 1 ,text<м>^2.] Если сторону квадрата увеличить на (Delta x = 1,text<см>,) то точное значение площади увеличенного квадрата будет составлять [S = = + Delta x> right)^2> = 1, <01^2>= 1,0201 ,text<м>^2,] т.е. приращение площади (Delta S) равно [ = 1,0201 — 1 = 0,0201,text<м>^2 > = <201,text<см>^2.> ] Представим теперь это приращение (Delta S) в таком виде: [require = + Delta x> right)^2> — x_0^2 > = + 2Delta x + right)^2> — cancel > = <2Delta x + right)^2> > = right) > = right).> ] Итак, приращение функции (Delta S) состоит из главной части (дифференциала функции), которая пропорциональна (Delta x) и равна [dy = ADelta x = 2Delta x = 2 cdot 1 cdot 0,01 = 0,02 ,text<м>^2 = 200,text<см>^2,] и члена более высокого порядка малости, в свою очередь, равного [omicronleft( right) = right)^2> = <0,01^2>= 0,0001,text<м>^2 = 1,text<см>^2.] В сумме оба этих члена составляют полное приращение площади квадрата, равное (200 + 1 = 201,text<см>^2.)

Заметим, что в данном примере коэффициент (A) равен значению производной функции (S) в точке (🙂 [A = 2.] Оказывается, что для любой дифференцируемой функции справедлива следующая теорема :

Коэффициент (A) главной части приращения функции в точке () равен значению производной (f’left( <> right)) в этой точке, т.е. приращение (Delta y) выражается формулой [ right) > = > right)Delta x + omicronleft( right).> ] Разделив обе части этого равенства на (Delta x ne 0,) имеем [ ><> = A + frac <right)>><> > = > right) + frac <right)>><>.> ] В пределе при (Delta x to 0) получаем значение производной в точке (🙂 [ > right) = limlimits_ frac<><> > = > right).> ] Здесь мы учли, что для малой величины (omicronleft( right)) более высокого порядка малости, чем (Delta x,) предел равен [limlimits_ frac <right)>><> = 0.] Если считать, что дифференциал независимой переменной (dx) равен ее приращению (Delta x:) [dx = Delta x,] то из соотношения [dy = ADelta x = y’dx] следует, что [y’ = frac<><>,] т.е. производную функции можно представить как отношение двух дифференциалов.

На рисунке (2) схематически показана разбивка приращения функции (Delta y) на главную часть (ADelta x) (дифференциал функции) и член высшего порядка малости (omicronleft( right)).

Касательная (MN), проведенная к кривой функции (y = fleft( x right)) в точке (M), как известно, имеет угол наклона (alpha), тангенс которого равен производной: [tan alpha = f’left( <> right).] При изменении аргумента на (Delta x) касательная получает приращение (ADelta x.) Это линейное приращение, образованное касательной, как раз и является дифференциалом функции. Остальная часть полного приращения (Delta y) (отрезок (N)) соответствует «нелинейной» добавке с более высоким порядком малости относительно (Delta x).

Свойства первого дифференциала функции.

На мой взгляд, основным необходимым навыком для успешного вычисления неопределенных интегралов является умение вносить функцию под знак дифференциала или извлекать таковую из-под знака дифференциала, основанное на свойствах его инвариантности и линейности.

Свойство инвариантности первого дифференциала функции.

Точнее, свойство инвариантности его формы или формулы.

Такая формулировка вопроса часто встречается в экзаменационных билетах по математическому анализу в зимнюю сессию. Как правило, этот вопрос студенты относят к нежелательным: формализованным и непонятным. А зря. В самом деле, это свойство очень простое, полезное и весьма востребованное в процессе вычисления неопределённых интегралов. Оно является следствием правила дифференцирования сложной функции:

Читать еще:  Тюнинг ВАЗ 2112 своими руками с фото

Пусть задана сложная функция y = f (φ(x)) .
Формула дифференциала функции имеет вид dy = y’ (xdx , где dx — дифференциал независимой переменной.
Введём дополнительное обозначение u = φ(x) , тогда y = f (u) и дифференциал dy с использованием правила дифференцирования сложной функции y’ (x) = f ‘ (uu’ (x) принимает вид dy = f ‘ (uu’ (xdx .
Но последние два сомножителя в этом произведении совпадают с дифференциалом функции u , который по определению имеет вид du = u’ (x)dx , т.е. в новых обозначениях dy = f ‘ (udu

Таким образом, мы получили формулы одного и того же вида для дифференциала функции f (φ(x)) от независимой переменной x и для дифференциала функции f(u) от промежуточного аргумента u, представляющего собой дифференцируемую функцию от x.
Это и есть свойство инвариантности формы (формулы) первого дифференциала.

Пример,
пусть y(x) = sin (π − √x _ )

Рассматриваем переменную х . Это независимая переменная, дифференциал

Рассматриваем переменную t = √x _ , тогда y(t) = sin (π − t) . Вычисляем дифференциал

Рассматриваем переменную u = π − √x _ , тогда y(u) = sin (u) . Вычисляем дифференциал

Здесь везде в конце вместо обозначений u и t подставлены их выражения в явном виде.
Нижний индекс показывает по какой переменной вычисляется производная.

Свойство инвариантности, утверждающее, что это один и тот же дифференциал, позволяет записать следующиую цепочку равенств

Это и есть процесс вынесения функций за знак дифференциала.
Сначала за знак дифференциала вынесена производная функции синус по его аргументу, аргумент остался под знаком следующего дифференциала. Затем вынесена производная поддиференциального выражения по переменной √x _ , она оказалась равной минус единице, под знаком дифференциала остался квадратный корень. И, наконец, после вынесения производной квадратного корня, остался дифференциал независимой переменной.

Другими словами «инвариантность» — это, когда «без вариантов». Какие переменные ни вводи, до какой степени подробности ни вычисляй производную, главное записывай единообразно, и результат будет верным.

Чтобы внести функцию под знак дифференциала, надо построить такую же цепочку в обратную сторону. Для этого уже потребуется определять не производные, а первообразные функций, стоящих перед знаком дифференциала. Например,

Функция косинус внесена под знак дифференциала. Для этого мы сначала убедились в идентичности переменных под знаками функции и дифференциала (здесь явной заменой переменных, что необязательно), а затем просто вспомнили, что первообразной косинуса является синус.

Дробь с квадратным корнем внесена под знак дифференциала. Здесь числитель и знаменатель дроби зависели от разных переменных, поэтому мы вынуждены были сначала выделить сомножитель, соответствующий производной корня второй степени, а затем записать его первообразную, т.е. сам корень, под знаком дифференциала.

Чем лучше вы ориентируетесь в производных и первообразных основных элементарных функций, тем легче будет увидеть следующий шаг. Полагаю, что и таблицу производных, и таблицу первообразных вы уже изучали, но теперь удобнее свести их в одну. Поэтому рекомендую повторить Единую таблицу производных и первообразных.

Свойства линейности первого дифференциала функции.

( f (x) ± C ) ‘ = f ‘ (x) ± 0 = f ‘ (x)
( C·f (x) ) ‘ = C·f ‘ (x)
.

О последней из них часто забывают и, пользуясь полной формулой дифференцирования дроби, делают совершенно необязательные ошибки из серии «на невнимательность». Поэтому напоминаю еще раз, постоянный множитель можно выносить за знак производной. Ориентируйтесь следующие примеры.

Поскольку дифференциал функции определяется через её производную, при вычислении дифференциала срабатывают те же свойства и правила.

Следствием этого свойства является возможность дописывать под знаком дифференциала любое постоянное слагаемое. Например,

Чтобы использовать это свойство при вычислении неопределенных интегралов, бывает удобно умножить и разделить на одно и то же число функцию, которую нужно внести под знак дифференциала. Например,

Дополнительные примеры и упражнения.

Пример 1.

Сначала расставили скобки, чтобы разобраться в сложных функциях, и выделили выражение с независимой переменной.

Первообразная выделенной дроби (функции, зависящей непосредственно от x) — натуральный логарифм. Внесли его под знак дифференциала.

Дифференциал логарифма сгруппировали с элементарной функцией, зависящей непосредственно от логарифма. Эта функция — синус логарифма. (Если трудно, можно сделать замену t = lnx .)

Первообразной синуса, является функция минус косинус того же аргумента. Вносим косинус логарифма под дифференциал. Получившееся выражение содержит только функцию cos ln x как под знаком дифференциала, так и вне его.

Находим первообразную дроби перед дифференциалом по формулам для степенной функции и вносим её под знак дифференциала. (Если трудно, можно сделать замену u = cos(lnx) .)

Здесь удалось внести под знак дифференциала всё выражение. К сожалению, это не всегда просто и даже не всегда возможно. Поэтому и интегрирование сложнее дифференцирования. Чаще всего мы можем внести под знак дифференциала только часть подынтегрального выражения, но и это существенно упрощает задачу.

Читать еще:  Импульсное зарядное устройство для автомобильного аккумулятора

Вынести функции из-под знака дифференциала

Внести функции под знак дифференциала

dx ______ √1 − x 2 _____ = d ( _______ )

√3x + 7 _____ dx = d ( 3 _______ 2 √3x + 7 _____ )

В первом выражении потеряны коэффициент и знак первообразной синуса.
Во втором, вероятно, была неправильно выделена производная арктангенса. В знаменателе этой функции должна стоять единица(!) плюс квадрат переменной.
В третьем случае вместо первообразной внесена под знак дифференциала производная, что является грубой ошибкой.
Ниже правильные решения подробно. Как уже упоминалось, замену переменных можно делать явно, как в первых двух случаях, или устно, как в последнем.

При обнаружении ошибок или опечаток — сообщайте, пожалуйста, на e-mail.

Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

Что такое дифференциал функции?

Понятие дифференциала функции связано с такими важными математическими разделами как дифференциальное и интегральное исчисление и тесно связано с понятием производной функции. Наиболее часто дифференциал применяется для приближенных вычислений, а также для оценки погрешностей формул и измерений.

Дифференциал функции — это линейная часть приращения функции. Говоря о значении дифференциала функции, рассматривают конкретную точку функции и бесконечно малое изменение аргумента.

Пусть xo есть некоторая точка из области определения функции f(x), а Δx — есть бесконечно малая величина. Тогда дифференциал функции находится как произведение значения производной функции и приращения её аргумента. Дифференциал функции f(x) обозначается как df(x).

История открытия дифференциала

Чаще всего открытие дифференциально-интегрального исчисления принято связывать с именем Исаака Ньютона, однако, этот факт активно оспаривают учёные со всего света.

Действительно, открытие целого нового направления в науке, столь значимого для её развития, было бы ошибочно считать заслугой только одного учёного. Изначально интегрирование связывали с вычислением площадей и объёмов криволинейных фигур. Такие задачи, как известно, решались ещё во времена Архимеда, поэтому его имя также имеет отношение к открытию дифференциального исчисления.

Также дифференцирование имеет отношение к решению задач на проведение касательных к различным кривым. Данное направление активно развивали греческие математики. В те времена математики столкнулись с трудностью, которую не смогли решить в дальнейшем и представители Нового времени.

Дело в том, что для определения направления прямой требовалось знать координаты как минимум двух точек, а касательная имеет лишь одну точку соприкосновения с кривой. Этот факт натолкнул учёных на мысль о том, что в одной точке кривая может иметь несколько касательных. В то время ученые пришли к выводу, что прямая состоит не из точек, а из отрезков минимальной длины. Таким образом, они считали направление касательной в некоторой точке совпадающим с направлением атомарного отрезка в данной точке.

В дальнейшем учёные Нового времени опровергли данную теорию. В этот период огромный вклад в развитие науки внёс Исаак Ньютон. Ученый сформулировал определения и принципы решения производных, а также основы дифференциального исчисления, которых придерживаются учёные и в наши дни.

Дифференциальное исчисление широко применяется в математике и других науках для решения различных задач.

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала заключается в следующем: дифференциал функции f(x) равен приращению ординаты касательной к графику функции, которая проведена через некоторую точку с координатами (x,y) при изменении координаты x на величину Δх=dx.

Дифференциал является главной линейной частью функции относительно приращения аргумента. Чем меньше приращение функции, тем большая доля приращения приходится на эту линейную часть.

Таким образом, при бесконечно малом Δх, приращение функции можно считать равным ее дифференциалу. Это свойство дифференциала позволяет использовать его для приблизительных вычислений и оценки погрешностей измерений.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Поскольку дифференциал функции является частью ее приращения, то при бесконечно малом приращении аргумента он приблизительно равен приращению функции. При этом чем меньше приращение аргумента, тем точнее значение функции. Этот факт даёт возможность использования дифференциалов для приближённых вычислений.

С помощью таких вычислений можно решать различные виды задач. Приближённые вычисления практически всегда связаны с наличием погрешности.

Использование дифференциала для оценки погрешностей

Результаты измерений в большинстве случаев содержат ошибку, обусловленную неточностью измерительных приборов.

Число, несколько превышающее или равное этой неточности, называется «предельной абсолютной погрешностью».

Отношение предельной погрешности к значению измеряемой величины называют «предельной относительной погрешностью».

Для оценки величины погрешностей измерений используют дифференциальное исчисление.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector